Cálculo Ejemplos

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 > 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - 9 x - 18 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2) = 0$

Paso 2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 9) = 0$

Paso 2.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Paso 2.4

Factoriza.

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Paso 2.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x + 2) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - 2, - 3, 3$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{3} + 2 {(- 6)}^{2} - 9 \cdot - 6 - 18 > 0$

Paso 9.1.3

$- 108$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2.5$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2.5$ en la desigualdad original.

${(- 2.5)}^{3} + 2 {(- 2.5)}^{2} - 9 \cdot - 2.5 - 18 > 0$

Paso 9.2.3

$1.375$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 - 18 > 0$

Paso 9.3.3

$- 18$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 9.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

${(6)}^{3} + 2 {(6)}^{2} - 9 \cdot 6 - 18 > 0$

Paso 9.4.3

$216$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 3 < x < - 2$ o $x > 3$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 3 < x < - 2 or x > 3$

Notación de intervalo:

$(- 3, - 2) \cup (3, \infty)$

Paso 12