Cálculo Ejemplos

$1 - \ln (1 - x) > 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$1 - \ln (1 - x) = 0$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \ln (1 - x) = - 1$

Paso 2.2

Divide cada término en $- \ln (1 - x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $- \ln (1 - x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (1 - x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (1 - x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.2.2

Divide $\ln (1 - x)$ por $1$ .

$\ln (1 - x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (1 - x) = 1$

Paso 2.3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (1 - x)} = e^{1}$

Paso 2.4

Reescribe $\ln (1 - x) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = 1 - x$

Paso 2.5

Resuelve $x$

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $1 - x = e^{1}$ .

$1 - x = e$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = e - 1$

Paso 2.5.3

Divide cada término en $- x = e - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Divide cada término en $- x = e - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{e}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{e}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{e}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{e}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot e + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot e$ como $- e$ .

$x = - e + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.3.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = - e + 1$

Paso 3

Obtén el dominio de $1 - \ln (1 - x)$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\ln (1 - x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$1 - x > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x > - 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $- x > - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término de $- x > - 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x < 1$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 1)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - e + 1$

$- e + 1 < x < 1$

$x > 1$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - e + 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - e + 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$1 - \ln (1 - (- 4)) > 0$

Paso 5.1.3

$- 0.60943791$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $- e + 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $- e + 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$1 - \ln (1 - (0)) > 0$

Paso 5.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$1 - \ln (1 - (4)) > 0$

Paso 5.3.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.3.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.3.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - e + 1$ Falso

$- e + 1 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - e + 1$ Falso

$- e + 1 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- e + 1 < x < 1$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- e + 1 < x < 1$

Notación de intervalo:

$(- e + 1, 1)$

Paso 8