Cálculo Ejemplos

$- 2 x^{2} + 4000 x > 700000$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 2 x^{2} + 4000 x = 700000$

Paso 2

Resta $700000$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} + 4000 x - 700000 = 0$

Paso 3

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{2} + 4000 x - 700000$ .

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Paso 3.1

Factoriza $- 2$ de $4000 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 2000 x) - 700000 = 0$

Paso 3.2

Factoriza $- 2$ de $- 700000$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 2000 x) - 2 \cdot 350000 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 2000 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 2000 x) - 2 \cdot 350000 = 0$

Paso 3.4

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2} - 2000 x) - 2 (350000)$ .

$- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$

Paso 4

Divide cada término en $- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x^{2} - 2000 x + 350000$ por $1$ .

$x^{2} - 2000 x + 350000 = \frac{0}{- 2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $- 2$ .

$x^{2} - 2000 x + 350000 = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2000$ y $c = 350000$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2000 \pm \sqrt{{(- 2000)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 350000)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 2000$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot 350000}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 350000$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 350000}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $350000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 1400000}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3

Resta $1400000$ de $4000000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{2600000}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4

Reescribe $2600000$ como $200^{2} \cdot 65$ .

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Paso 7.1.4.1

Factoriza $40000$ de $2600000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{40000 (65)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe $40000$ como $200^{2}$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{200^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2}$ .

$x = 1000 \pm 100 \sqrt{65}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1000 + 100 \sqrt{65}, 1000 - 100 \sqrt{65}$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- 2 {(0)}^{2} + 4000 (0) > 700000$

Paso 10.1.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $700000$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 196$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $196$ en la desigualdad original.

$- 2 {(196)}^{2} + 4000 (196) > 700000$

Paso 10.2.3

$707168$ del lado izquierdo es mayor que $700000$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1809$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $1809$ en la desigualdad original.

$- 2 {(1809)}^{2} + 4000 (1809) > 700000$

Paso 10.3.3

$691038$ del lado izquierdo no es mayor que $700000$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ Falso

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ Verdadero

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ Falso

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ Falso

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ Verdadero

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

Notación de intervalo:

$(1000 - 100 \sqrt{65}, 1000 + 100 \sqrt{65})$

Paso 13