Cálculo Ejemplos

$2 x^{2} + 1 < 9 x - 3$

Paso 1

Resta $9 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 x^{2} + 1 - 9 x < - 3$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} + 1 - 9 x = - 3$

Paso 3

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + 1 - 9 x + 3 = 0$

Paso 4

Suma $1$ y $3$ .

$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 x$ .

$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

Paso 5.1.2

Reescribe $- 9$ como $- 1$ más $- 8$

$2 x^{2} + (- 1 - 8) x + 4 = 0$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 1 x - 8 x + 4 = 0$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} - 1 x) - 8 x + 4 = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1) = 0$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x - 4) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 7

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 8

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 8.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 1) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, 4$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{2} + 1 < 9 (0) - 3$

Paso 11.1.3

$1$ del lado izquierdo no es menor que $- 3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$2 {(2)}^{2} + 1 < 9 (2) - 3$

Paso 11.2.3

$9$ del lado izquierdo es menor que $15$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$2 {(6)}^{2} + 1 < 9 (6) - 3$

Paso 11.3.3

$73$ del lado izquierdo no es menor que $51$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1}{2} < x < 4$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$\frac{1}{2} < x < 4$

Notación de intervalo:

$(\frac{1}{2}, 4)$

Paso 14