Cálculo Ejemplos

$\sin (2 x) \geq \sin (x)$

Paso 1

Resta $\sin (x)$ de ambos lados de la desigualdad.

$\sin (2 x) - \sin (x) \geq 0$

Paso 2

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \geq 0$

Paso 3

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

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Paso 3.1

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Paso 3.2

Factoriza $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 5

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 5.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 5.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 5.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 \cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 6.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 6.2.6

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 6.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 6.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 6.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 6.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 6.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$0 < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\sin (2 (1)) \geq \sin (1)$

Paso 10.1.3

$0.90929742$ del lado izquierdo es mayor que $0.84147098$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{3} < x < π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{3} < x < π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\sin (2 (2)) \geq \sin (2)$

Paso 10.2.3

$- 0.75680249$ del lado izquierdo es menor que $0.90929742$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $π < x < \frac{5 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $π < x < \frac{5 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\sin (2 (4)) \geq \sin (4)$

Paso 10.3.3

$0.98935824$ del lado izquierdo es mayor que $- 0.75680249$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 10.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\sin (2 (6)) \geq \sin (6)$

Paso 10.4.3

$- 0.53657291$ del lado izquierdo es menor que $- 0.27941549$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.5

Prueba un valor en el intervalo $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.5.1

Elije un valor en el intervalo $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 7$

Paso 10.5.2

Reemplaza $x$ con $7$ en la desigualdad original.

$\sin (2 (7)) \geq \sin (7)$

Paso 10.5.3

$0.99060735$ del lado izquierdo es mayor que $0.65698659$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.6

Prueba un valor en el intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.6.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 9$

Paso 10.6.2

Reemplaza $x$ con $9$ en la desigualdad original.

$\sin (2 (9)) \geq \sin (9)$

Paso 10.6.3

$- 0.75098724$ del lado izquierdo es menor que $0.41211848$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.7

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$0 < x < \frac{π}{3}$ Verdadero

$\frac{π}{3} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Verdadero

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Verdadero

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Falso

$0 < x < \frac{π}{3}$ Verdadero

$\frac{π}{3} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Verdadero

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Verdadero

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 + 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Paso 12

Combina los intervalos.

$π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n or 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13