Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$

Paso 2

Multiplicación cruzada.

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Paso 2.1

Aplica la multiplicación cruzada; para ello, haz que el producto del numerador del lado derecho y el denominador del lado izquierdo sean iguales al producto del numerador del lado izquierdo y el denominador del lado derecho.

$y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}}) = 1$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}})$ .

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Paso 2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y \sqrt{2 x - x^{2}} = 1$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $x$ de $2 x - x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$2 y \sqrt{x \cdot 2 - x^{2}} = 1$

Paso 2.2.1.2.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$2 y \sqrt{x \cdot 2 + x (- x)} = 1$

Paso 2.2.1.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$2 y \sqrt{x (2 - x)} = 1$

Paso 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 y \sqrt{x (2 - x)})}^{2} = 1^{2}$

Paso 4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x (2 - x)}$ como ${(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 y {(x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Reordena.

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Paso 4.2.1.1.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

${(2 y {(2 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(2 y {(2 \cdot x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.2.1

Mueve $x$ .

${(2 y {(2 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

${(2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 4.2.1.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1.3.1

Aplica la regla del producto a $2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y)}^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 4.2.1.3.2

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$2^{2} y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 4.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 4.2.1.5

Multiplica los exponentes en ${({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Paso 4.2.1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.5.2.1

Cancela el factor común.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Paso 4.2.1.5.2.2

Reescribe la expresión.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{1} = 1^{2}$

Paso 4.2.1.6

Simplifica.

$4 y^{2} (2 x - x^{2}) = 1^{2}$

Paso 4.2.1.7

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 4.2.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} (2 x) + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Paso 4.2.1.7.2

Reordena.

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Paso 4.2.1.7.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Paso 4.2.1.7.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Paso 4.2.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.8.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Paso 4.2.1.8.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} - 1 = 0$

Paso 5.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.3

Sustituye los valores $a = - 4 y^{2}$ , $b = 8 y^{2}$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 4 y^{2} \cdot - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1.1

Reescribe $- 4 \cdot - 4 y^{2}$ como ${(4 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - {(4 y)}^{2}}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 8 y^{2}$ y $b = 4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(8 y^{2} + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.3

Simplifica.

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Paso 5.4.1.3.1

Factoriza $4 y$ de $8 y^{2} + 4 y$ .

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Paso 5.4.1.3.1.1

Factoriza $4 y$ de $8 y^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.3.1.2

Factoriza $4 y$ de $4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y (1)) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.3.1.3

Factoriza $4 y$ de $4 y (2 y) + 4 y (1)$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.3.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.4

Factoriza $4 y$ de $8 y^{2} - 4 y$ .

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Paso 5.4.1.4.1

Factoriza $4 y$ de $8 y^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.4.2

Factoriza $4 y$ de $- 4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) + 4 y (- 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.4.3

Factoriza $4 y$ de $4 y (2 y) + 4 y (- 1)$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) \cdot (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.5

Combina exponentes.

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Paso 5.4.1.5.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y (2 y + 1) y (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.5.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.5.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{1 + 1} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.6

Reescribe $16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)$ como ${(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))$ .

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Paso 5.4.1.6.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4^{2} y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.6.2

Reescribe $4^{2} y^{2}$ como ${(4 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.6.3

Agrega paréntesis.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Paso 5.4.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$

Paso 5.4.3

Simplifica $\frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

Paso 5.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$