Cálculo Ejemplos

$6 k^{3} - 5 k^{2} < 4 k$

Paso 1

Resta $4 k$ de ambos lados de la desigualdad.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k < 0$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $k$ de $6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $k$ de $6 k^{3}$ .

$k (6 k^{2}) - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $k$ de $- 5 k^{2}$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) - 4 k = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $k$ de $- 4 k$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza $k$ de $k (6 k^{2}) + k (- 5 k)$ .

$k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza $k$ de $k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Paso 3.2

Factoriza.

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Paso 3.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 k$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe $- 5$ como $3$ más $- 8$

$k (6 k^{2} + (3 - 8) k - 4) = 0$

Paso 3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$k (6 k^{2} + 3 k - 8 k - 4) = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$k ((6 k^{2} + 3 k) - 8 k - 4) = 0$

Paso 3.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$k (3 k (2 k + 1) - 4 (2 k + 1)) = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 k + 1$ .

$k ((2 k + 1) (3 k - 4)) = 0$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$k = 0$

$2 k + 1 = 0$

$3 k - 4 = 0$

Paso 5

Establece $k$ igual a $0$ .

$k = 0$

Paso 6

Establece $2 k + 1$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 6.1

Establece $2 k + 1$ igual a $0$ .

$2 k + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 k + 1 = 0$ en $k$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 k = - 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 k = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 k = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $k$ por $1$ .

$k = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$k = - \frac{1}{2}$

Paso 7

Establece $3 k - 4$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 7.1

Establece $3 k - 4$ igual a $0$ .

$3 k - 4 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $3 k - 4 = 0$ en $k$ .

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Paso 7.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 k = 4$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $3 k = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $3 k = 4$ por $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $k$ por $1$ .

$k = \frac{4}{3}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$ verdadera.

$k = 0, - \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$k < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < k < 0$

$0 < k < \frac{4}{3}$

$k > \frac{4}{3}$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $k < - \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $k < - \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$k = - 3$

Paso 10.1.2

Reemplaza $k$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$6 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} < 4 (- 3)$

Paso 10.1.3

$- 207$ del lado izquierdo es menor que $- 12$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < k < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < k < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$k = - 0.25$

Paso 10.2.2

Reemplaza $k$ con $- 0.25$ en la desigualdad original.

$6 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} < 4 (- 0.25)$

Paso 10.2.3

$- 0.40625$ del lado izquierdo no es menor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < k < \frac{4}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < k < \frac{4}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$k = 1$

Paso 10.3.2

Reemplaza $k$ con $1$ en la desigualdad original.

$6 {(1)}^{3} - 5 {(1)}^{2} < 4 (1)$

Paso 10.3.3

$1$ del lado izquierdo es menor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $k > \frac{4}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $k > \frac{4}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$k = 4$

Paso 10.4.2

Reemplaza $k$ con $4$ en la desigualdad original.

$6 {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} < 4 (4)$

Paso 10.4.3

$304$ del lado izquierdo no es menor que $16$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$k < - \frac{1}{2}$ Verdadero

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Falso

$0 < k < \frac{4}{3}$ Verdadero

$k > \frac{4}{3}$ Falso

$k < - \frac{1}{2}$ Verdadero

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Falso

$0 < k < \frac{4}{3}$ Verdadero

$k > \frac{4}{3}$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$k < - \frac{1}{2}$ o $0 < k < \frac{4}{3}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$k < - \frac{1}{2} or 0 < k < \frac{4}{3}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3})$

Paso 13