Cálculo Ejemplos

cot (arccos (x))

$\cot (\arccos (x))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices

$(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ ,

$(x, 0)$ y el origen. Entonces

$\arccos (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por

$(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Por lo tanto,

$\cot (\arccos (x))$ es

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe

$1$ como

$1^{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

$a = 1$ y

$b = x$ .

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 3

Multiplica

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Multiplica

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 4.2

Eleva

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 4.3

Eleva

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Paso 4.5

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Paso 4.6

Reescribe

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como

$(1 + x) (1 - x)$ .

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Paso 4.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.6.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Paso 4.6.5

Simplifica.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$