Cálculo Ejemplos

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 6

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 9

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Paso 10.2

Combina $2$ y $\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

Paso 10.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Paso 10.4

Combina $\frac{6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$\frac{6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Paso 10.5

Factoriza $2$ de $6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$

Paso 11

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)}$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{1}$

Paso 11.4

Divide $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ por $1$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

Paso 12

Reordena los factores de $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$3 x {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$