Cálculo Ejemplos

${(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 6

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}])$

Paso 8

Como $a^{\frac{2}{3}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}])$

Paso 9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 12

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 13

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 15

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Paso 15.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Paso 16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Paso 17

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 18

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 19

Multiplica $\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 (3 x^{\frac{1}{3}})}$

Paso 20

Multiplica.

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Paso 20.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2 (3 x^{\frac{1}{3}})}$

Paso 20.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{6 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 21

Cancela el factor común.

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{6 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 22

Reescribe la expresión.

$- \frac{{(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$