Cálculo Ejemplos

${(\frac{1}{81})}^{2 x}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = {(\frac{1}{81})}^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [{(\frac{1}{81})}^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $\frac{1}{81}$ .

${(\frac{1}{81})}^{u} \ln (\frac{1}{81}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}) (2 \cdot 1)$

Paso 2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}) \cdot 2$

Paso 2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81})$ .

$2 \cdot ({(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}))$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{81}$ .

$2 \frac{1^{2 x}}{81^{2 x}} \ln (\frac{1}{81})$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{1}{81^{2 x}} \ln (\frac{1}{81})$

Paso 3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{81^{2 x}}$ .

$\frac{2}{81^{2 x}} \ln (\frac{1}{81})$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{2}{81^{2 x}}$ y $\ln (\frac{1}{81})$ .

$\frac{2 \ln (\frac{1}{81})}{81^{2 x}}$