Cálculo Ejemplos

${({(x^{2} + 3)}^{5} + x)}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{5} + x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} + 3$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + 3$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1)$

Paso 5.2

Reordena los factores de $(2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1)$ .

$(10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1) (2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x)$