Cálculo Ejemplos

$(4 x^{2} + 8 x) \cos (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 4 x^{2} + 8 x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$(4 x^{2} + 8 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 8 x]$

Paso 2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 8 x]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 3.5

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 8 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 8 \cdot 1)$

Paso 3.7

Multiplica $8$ por $1$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 8)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 8 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 8)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 8 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 8$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 8$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 8 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 8$

Paso 4.3.3

Mueve $8$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 8 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + 8 \cos (x)$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$- 4 x^{2} \sin (x) - 8 x \sin (x) + 8 x \cos (x) + 8 \cos (x)$