Cálculo Ejemplos

$y = e^{u} (\cos (u) + c u)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ es $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ donde $f (u) = e^{u}$ y $g (u) = \cos (u) + c u$ .

$e^{u} \frac{d}{d u} [\cos (u) + c u] + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (u) + c u$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [\cos (u)] + \frac{d}{d u} [c u]$ .

$e^{u} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] + \frac{d}{d u} [c u]) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Paso 3

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$e^{u} (- \sin (u) + \frac{d}{d u} [c u]) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $c$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $c u$ con respecto a $u$ es $c \frac{d}{d u} [u]$ .

$e^{u} (- \sin (u) + c \frac{d}{d u} [u]) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{u} (- \sin (u) + c \cdot 1) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Paso 4.3

Multiplica $c$ por $1$ .

$e^{u} (- \sin (u) + c) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} (- \sin (u) + c) + (\cos (u) + c u) e^{u}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{u} (- \sin (u)) + e^{u} c + (\cos (u) + c u) e^{u}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{u} (- \sin (u)) + e^{u} c + \cos (u) e^{u} + c u e^{u}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$- e^{u} \sin (u) + e^{u} c + e^{u} \cos (u) + e^{u} c u$