Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{4} - 4}{x^{2} - 5}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{4} - 4$ y $g (x) = x^{2} - 5$ .

$\frac{(x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{4} - 4] - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (4 x^{3} + 0) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (4 x^{3}) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2} - 5$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (2 x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - 2 (x^{4} - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 5) x^{3} - 2 (x^{4} - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 (x^{4} - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{3} + (- 2 x^{4} - 2 \cdot - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.5.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{3 + 2} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.5.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 (x \cdot x^{4}) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.5.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 3.5.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 (x^{1} x^{4}) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.5.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{1 + 4} - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.5.1.3.3

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{5} - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{5} + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Resta $2 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 20 x^{3} + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.6

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5} - 20 x^{3} + 8 x$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 20 x^{3} + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Factoriza $2 x$ de $- 20 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.6.3

Factoriza $2 x$ de $8 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 2 x (4)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.6.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2})$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (4)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.6.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (4)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$