Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} - x - 6}{x - 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - x - 6$ y $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6] - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.7

Suma $2 x - 1$ y $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.10

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Expande $(x - 3) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 6 x - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 6 x + 3 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.2

Resta $6 x$ de $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} + 1 x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} + x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} + x + 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 3 + x + 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Suma $- 7 x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 3 + 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Suma $3$ y $6$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 3^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 3.3.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de ${(x - 3)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Reescribe la expresión.

$1$