Cálculo Ejemplos

${(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x^{2} - 2 x - 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 2 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 2 x - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Paso 5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Paso 6.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Paso 6.3

Mueve ${(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 9

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 11

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 + 0)$

Paso 13

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2)$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Reordena los factores de $\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.2

Multiplica $2 x - 2$ por $\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(2 x - 2) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.3

Simplifica el numerador.

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Paso 14.3.1

Factoriza $2$ de $2 x - 2$ .

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Paso 14.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{(2 (x) - 2) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.3.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$