Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (9 x)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $3$ de $9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 3, - 1$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (x - 3) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 3, 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $3, 1$ .

$3, 1$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 9$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f' (0) = 0 + 9$

Paso 5.2.2.2

Suma $0$ y $9$ .

$f' (0) = 9$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $9$ .

$9$

Paso 5.3

En $x = 0$ la derivada es $9$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 1)$ .

Incremento en $(- \infty, 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(1, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 9$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 9$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$f' (2) = 12 - 24 + 9$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Resta $24$ de $12$ .

$f' (2) = - 12 + 9$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 12$ y $9$ .

$f' (2) = - 3$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 6.3

En $x = 2$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(1, 3)$ .

Decrecimiento en $(1, 3)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 9$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f' (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 9$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $4$ .

$f' (4) = 48 - 48 + 9$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Resta $48$ de $48$ .

$f' (4) = 0 + 9$

Paso 7.2.2.2

Suma $0$ y $9$ .

$f' (4) = 9$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $9$ .

$9$

Paso 7.3

En $x = 4$ la derivada es $9$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(3, \infty)$ .

Incremento en $(3, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 1), (3, \infty)$

Decrecimiento en: $(1, 3)$

Paso 9