Cálculo Ejemplos

${(1 - \cos (x))}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - \cos (x)$ .

$2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (1 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 2 (1 - \cos (x)) (- \sin (x))$

Paso 4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 (1 - \cos (x)) \sin (x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x))) \sin (x)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)$

Paso 5.3

Combina los términos.

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Paso 5.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)$

Paso 5.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)$