Cálculo Ejemplos

$(3 x - 3) (5 x^{3} - x^{2} + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 3 x - 3$ y $g (x) = 5 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(3 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - x^{2} + 1] + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{3} - x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x - 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

Paso 2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(3 x - 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(3 x - 3) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$(3 x - 3) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x - 3) (15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(3 x - 3) (15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

Paso 2.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x + 0) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

Paso 2.9

Suma $15 x^{2} - 2 x$ y $0$ .

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

Paso 2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.11

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.13

Multiplica $3$ por $1$ .

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.14

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + 0)$

Paso 2.15

Simplifica la expresión.

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Paso 2.15.1

Suma $3$ y $0$ .

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \cdot 3$

Paso 2.15.2

Mueve $3$ a la izquierda de $5 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + 3 \cdot (5 x^{3} - x^{2} + 1)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x - 3) (15 x^{2}) + (3 x - 3) (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x (15 x^{2}) - 3 (15 x^{2}) + (3 x - 3) (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x (15 x^{2}) - 3 (15 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5

Combina los términos.

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Paso 3.5.1

Multiplica $15$ por $3$ .

$45 x \cdot x^{2} - 3 (15 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$45 (x^{2} x) - 3 (15 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$45 (x^{2} x^{1}) - 3 (15 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$45 x^{2 + 1} - 3 (15 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$45 x^{3} - 3 (15 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.3

Multiplica $15$ por $- 3$ .

$45 x^{3} - 45 x^{2} + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$45 x^{3} - 45 x^{2} - 6 x \cdot x - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$45 x^{3} - 45 x^{2} - 6 (x^{1} x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$45 x^{3} - 45 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1}) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$45 x^{3} - 45 x^{2} - 6 x^{1 + 1} - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.8

Suma $1$ y $1$ .

$45 x^{3} - 45 x^{2} - 6 x^{2} - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.9

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$45 x^{3} - 45 x^{2} - 6 x^{2} + 6 x + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.10

Resta $6 x^{2}$ de $- 45 x^{2}$ .

$45 x^{3} - 51 x^{2} + 6 x + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.11

Multiplica $5$ por $3$ .

$45 x^{3} - 51 x^{2} + 6 x + 15 x^{3} + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.12

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$45 x^{3} - 51 x^{2} + 6 x + 15 x^{3} - 3 x^{2} + 3 \cdot 1$

Paso 3.5.13

Multiplica $3$ por $1$ .

$45 x^{3} - 51 x^{2} + 6 x + 15 x^{3} - 3 x^{2} + 3$

Paso 3.5.14

Suma $45 x^{3}$ y $15 x^{3}$ .

$60 x^{3} - 51 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 3$

Paso 3.5.15

Resta $3 x^{2}$ de $- 51 x^{2}$ .

$60 x^{3} - 54 x^{2} + 6 x + 3$