Cálculo Ejemplos

$3 x^{2} \sec (x) + \sin (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} \sec (x) + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)]$ .

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} \sec (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sec (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 x)) + \cos (x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x))) + 3 (\sec (x) (2 x)) + \cos (x)$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + 6 \sec (x) x + \cos (x)$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$3 x^{2} \sec (x) \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Paso 4.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$3 x^{2} \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Paso 4.4.2

Multiplica $3 x^{2} \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Paso 4.4.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x^{2} \frac{3}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Paso 4.4.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Paso 4.4.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Paso 4.4.4

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Paso 4.4.5

Combinar.

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Paso 4.4.6

Simplifica el denominador.

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Paso 4.4.6.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Paso 4.4.6.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Paso 4.4.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Paso 4.4.6.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Paso 4.4.7

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 6 x \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.4.8

Multiplica $6 x \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Paso 4.4.8.1

Combina $6$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x \frac{6}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.4.8.2

Combina $x$ y $\frac{6}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{x \cdot 6}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.4.9

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.2

Separa las fracciones.

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.4

Combina $\frac{3 x^{2}}{\cos (x)}$ y $\tan (x)$ .

$\frac{3 x^{2} \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.5

Separa las fracciones.

$\frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.6

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.7

Reescribe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como un producto.

$\frac{3 x^{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.8

Simplifica.

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Paso 4.5.8.1

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{3 x^{2}}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.8.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{3 x^{2}}{1} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.9

Divide $3 x^{2}$ por $1$ .

$3 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 4.6

Reordena los factores en $3 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$ .

$3 x^{2} \tan (x) \sec (x) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$