Cálculo Ejemplos

(4 x + 1) {(1 - x)}^{3}

$(4 x + 1) {(1 - x)}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde

$f (x) = 4 x + 1$ y

$g (x) = {(1 - x)}^{3}$ .

$(4 x + 1) \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3}] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

$f (x) = x^{3}$ y

$g (x) = 1 - x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

$u$ como

$1 - x$ .

$(4 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es

$n u^{n - 1}$ donde

$n = 3$ .

$(4 x + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de

$u$ con

$1 - x$ .

$(4 x + 1) (3 {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Mueve

$3$ a la izquierda de

$4 x + 1$ .

$3 \cdot (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de

$1 - x$ con respecto a

$x$ es

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 3.3

Como

$1$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$1$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 3.4

Suma

$0$ y

$\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 3.5

Como

$- 1$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$- x$ con respecto a

$x$ es

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 3.6

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \cdot 1 + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 3.8

Multiplica

$- 3$ por

$1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 3.9

Según la regla de la suma, la derivada de

$4 x + 1$ con respecto a

$x$ es

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.10

Como

$4$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$4 x$ con respecto a

$x$ es

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.12

Multiplica

$4$ por

$1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.13

Como

$1$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$1$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + 0)$

Paso 3.14

Simplifica la expresión.

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Paso 3.14.1

Suma

$4$ y

$0$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \cdot 4$

Paso 3.14.2

Mueve

$4$ a la izquierda de

${(1 - x)}^{3}$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + 4 \cdot {(1 - x)}^{3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 3 (4 x) - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

Paso 4.2

Multiplica

$4$ por

$- 3$ .

$(- 12 x - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

Paso 4.3

Multiplica

$- 3$ por

$1$ .

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

Paso 4.4

Factoriza

${(1 - x)}^{2}$ de

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza

${(1 - x)}^{2}$ de

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2}$ .

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + 4 {(1 - x)}^{3}$

Paso 4.4.2

Factoriza

${(1 - x)}^{2}$ de

$4 {(1 - x)}^{3}$ .

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$

Paso 4.4.3

Factoriza

${(1 - x)}^{2}$ de

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$ .

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.5

Reescribe

${(1 - x)}^{2}$ como

$(1 - x) (1 - x)$ .

$(1 - x) (1 - x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.6

Expande

$(1 - x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 (1 - x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.7.1.1

Multiplica

$1$ por

$1$ .

$(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.7.1.2

Multiplica

$- x$ por

$1$ .

$(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.7.1.3

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$(1 - x - x - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.7.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.7.1.5

Multiplica

$x$ por

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.7.1.5.1

Mueve

$x$ .

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.7.1.5.2

Multiplica

$x$ por

$x$ .

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.7.1.6

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$(1 - x - x + 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.7.1.7

Multiplica

$x^{2}$ por

$1$ .

$(1 - x - x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.7.2

Resta

$x$ de

$- x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Paso 4.8

Simplifica cada término.

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Paso 4.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 \cdot 1 + 4 (- x))$

Paso 4.8.2

Multiplica

$4$ por

$1$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 + 4 (- x))$

Paso 4.8.3

Multiplica

$- 1$ por

$4$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 - 4 x)$

Paso 4.9

Resta

$4 x$ de

$- 12 x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x - 3 + 4)$

Paso 4.10

Suma

$- 3$ y

$4$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$

Paso 4.11

Expande

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$1 (- 16 x) + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Paso 4.12

Simplifica cada término.

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Paso 4.12.1

Multiplica

$- 16 x$ por

$1$ .

$- 16 x + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Paso 4.12.2

Multiplica

$1$ por

$1$ .

$- 16 x + 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Paso 4.12.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Paso 4.12.4

Multiplica

$x$ por

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.12.4.1

Mueve

$x$ .

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Paso 4.12.4.2

Multiplica

$x$ por

$x$ .

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Paso 4.12.5

Multiplica

$- 2$ por

$- 16$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Paso 4.12.6

Multiplica

$- 2$ por

$1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Paso 4.12.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{2} x + x^{2} \cdot 1$

Paso 4.12.8

Multiplica

$x^{2}$ por

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.12.8.1

Mueve

$x$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

Paso 4.12.8.2

Multiplica

$x$ por

$x^{2}$ .

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Paso 4.12.8.2.1

Eleva

$x$ a la potencia de

$1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

Paso 4.12.8.2.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1$

Paso 4.12.8.3

Suma

$1$ y

$2$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2} \cdot 1$

Paso 4.12.9

Multiplica

$x^{2}$ por

$1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2}$

Paso 4.13

Resta

$2 x$ de

$- 16 x$ .

$- 18 x + 1 + 32 x^{2} - 16 x^{3} + x^{2}$

Paso 4.14

Suma

$32 x^{2}$ y

$x^{2}$ .

$- 18 x + 1 - 16 x^{3} + 33 x^{2}$