Cálculo Ejemplos

$(\frac{1}{x - 2}) (\frac{3}{x^{2} + 2})$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{3}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$

Paso 1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{(x - 2) (x^{2} + 2)}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$

Paso 1.3

Reescribe $\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}$ como ${((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = (x - 2) (x^{2} + 2)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $(x - 2) (x^{2} + 2)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(x - 2) (x^{2} + 2)$ .

$3 (- {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

Paso 3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 ({((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 2$ y $g (x) = x^{2} + 2$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 5.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 5.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 2$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 5.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Paso 5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Paso 5.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (1 + 0))$

Paso 5.8

Simplifica la expresión.

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Paso 5.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) \cdot 1)$

Paso 5.8.2

Multiplica $x^{2} + 2$ por $1$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{((x - 2) (x^{2} + 2))}^{2}} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

Paso 6.2

Aplica la regla del producto a $(x - 2) (x^{2} + 2)$ .

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} ((2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} + 2)$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Paso 6.5

Combina los términos.

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Paso 6.5.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Paso 6.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Paso 6.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Paso 6.5.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Paso 6.5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Paso 6.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Paso 6.5.7

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{2} - 4 x + x^{2} + 2)$

Paso 6.5.8

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (3 x^{2} - 4 x + 2)$

Paso 6.6

Reordena los factores de $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (3 x^{2} - 4 x + 2)$ .

$- (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 6.8

Simplifica.

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Paso 6.8.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(- 3 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 6.8.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$(- 3 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 6.8.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(- 3 x^{2} + 4 x - 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 6.9

Multiplica $- 3 x^{2} + 4 x - 2$ por $\frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(- 3 x^{2} + 4 x - 2) \cdot 3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 6.10

Mueve $3$ a la izquierda de $- 3 x^{2} + 4 x - 2$ .

$\frac{3 \cdot (- 3 x^{2} + 4 x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 6.11

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2}) + 4 x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 6.12

Factoriza $- 1$ de $4 x$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 6.13

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x) - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 6.14

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 6.15

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x + 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 6.16

Reescribe $- (3 x^{2} - 4 x + 2)$ como $- 1 (3 x^{2} - 4 x + 2)$ .

$\frac{3 (- 1 (3 x^{2} - 4 x + 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 6.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (3 x^{2} - 4 x + 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$