Cálculo Ejemplos

$(\frac{x^{3}}{9}) (3 \ln (x) - 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \frac{x^{3}}{9}$ y $g (x) = 3 \ln (x) - 1$ .

$\frac{x^{3}}{9} \frac{d}{d x} [3 \ln (x) - 1] + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \ln (x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $3$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + 0) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4.3

Simplifica los términos.

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Paso 4.3.1

Suma $\frac{3}{x}$ y $0$ .

$\frac{x^{3}}{9} \cdot \frac{3}{x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{x^{3}}{9}$ por $\frac{3}{x}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3}}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $3$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{3})}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.4.2.1

Factoriza $3$ de $9 x$ .

$\frac{3 (x^{3})}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{3}}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 4.3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.5.2.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Paso 4.4

Como $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{9}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{1}{9} (3 x^{2})$

Paso 4.6

Simplifica los términos.

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Paso 4.6.1

Combina $3$ y $\frac{1}{9}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3}{9} x^{2}$

Paso 4.6.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{9}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2} \cdot 3}{9}$

Paso 4.6.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 \cdot x^{2}}{9}$

Paso 4.6.4

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 4.6.4.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 (x^{2})}{9}$

Paso 4.6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.6.4.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

Paso 4.6.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

Paso 4.6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$

Paso 5

Para escribir $(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 6

Combina $(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

Paso 8

Combina $3$ y $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

Paso 9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

Paso 9.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) x^{2}}{3}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 \ln (x) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

Paso 10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1

Simplifica $3 \ln (x)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

Paso 10.2.1.2

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}}{3}$

Paso 10.2.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}$ .

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Paso 10.2.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2} + 0}{3}$

Paso 10.2.2.2

Suma $\ln (x^{3}) x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2}}{3}$

Paso 10.2.3

Reordena los factores en $\ln (x^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \ln (x^{3})}{3}$

Paso 10.3

Expande $\ln (x^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

Paso 10.4.2

Divide $x^{2} (\ln (x))$ por $1$ .

$x^{2} (\ln (x))$