Cálculo Ejemplos

$y = \frac{9}{7 w^{5}} + 9 \sqrt[4]{w}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{9}{7 w^{5}} + 9 \sqrt[4]{w}$ con respecto a $w$ es $\frac{d}{d w} [\frac{9}{7 w^{5}}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{9}{7 w^{5}}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d w} [\frac{9}{7 w^{5}}]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{9}{7}$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $\frac{9}{7 w^{5}}$ con respecto a $w$ es $\frac{9}{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{5}}]$ .

$\frac{9}{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{5}}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{w^{5}}$ como ${(w^{5})}^{- 1}$ .

$\frac{9}{7} \frac{d}{d w} [{(w^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ es $f' (g (w)) g' (w)$ donde $f (w) = w^{- 1}$ y $g (w) = w^{5}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $w^{5}$ .

$\frac{9}{7} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{5}]) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{9}{7} (- u^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{5}]) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $w^{5}$ .

$\frac{9}{7} (- {(w^{5})}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{5}]) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{9}{7} (- {(w^{5})}^{- 2} (5 w^{4})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.5

Multiplica los exponentes en ${(w^{5})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{7} (- w^{5 \cdot - 2} (5 w^{4})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$\frac{9}{7} (- w^{- 10} (5 w^{4})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{9}{7} (- 5 w^{- 10} w^{4}) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.7

Multiplica $w^{- 10}$ por $w^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.7.1

Mueve $w^{4}$ .

$\frac{9}{7} (- 5 (w^{4} w^{- 10})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9}{7} (- 5 w^{4 - 10}) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.7.3

Resta $10$ de $4$ .

$\frac{9}{7} (- 5 w^{- 6}) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.8

Combina $- 5$ y $\frac{9}{7}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{7} w^{- 6} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.9

Multiplica $- 5$ por $9$ .

$\frac{- 45}{7} w^{- 6} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.10

Combina $\frac{- 45}{7}$ y $w^{- 6}$ .

$\frac{- 45 w^{- 6}}{7} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.11

Mueve $w^{- 6}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 45}{7 w^{6}} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{w}$ como $w^{\frac{1}{4}}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{d}{d w} [9 w^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2

Como $9$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $9 w^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $w$ es $9 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{4}}]$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} - 1})$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1 - 4}{4}})$

Paso 3.7.2

Resta $4$ de $1$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{- 3}{4}})$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{- \frac{3}{4}})$

Paso 3.9

Combina $\frac{1}{4}$ y $w^{- \frac{3}{4}}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 \frac{w^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 3.10

Combina $9$ y $\frac{w^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{9 w^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 3.11

Mueve $w^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{9}{4 w^{\frac{3}{4}}}$