Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3} - 1}{2 x^{3} + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3} - 1$ y $g (x) = 2 x^{3} + 1$ .

$\frac{(2 x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(2 x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{(2 x^{3} + 1) (3 x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $2 x^{3} + 1$ .

$\frac{3 \cdot (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (6 x^{2} + 0)}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.1

Suma $6 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (6 x^{2})}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - 6 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 (2 x^{3}) + 3 \cdot 1) x^{2} - 6 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} + (- 6 x^{3} - 6 \cdot - 1) x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (2 (x^{2} x^{3})) + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (2 x^{2 + 3}) + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.1.1.3

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{3 (2 x^{5}) + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{5} + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 (x^{2} x^{3}) - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{2 + 3} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.1.4.3

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{5} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.1.5

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{5} + 6 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Combina los términos opuestos en $6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{5} + 6 x^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $6 x^{5}$ de $6 x^{5}$ .

$\frac{3 x^{2} + 0 + 6 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.2.2

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 6 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.3

Suma $3 x^{2}$ y $6 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$