Cálculo Ejemplos

$(1 + \sec (x)) \sin (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 + \sec (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Paso 2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sec (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 4

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\sec (x) \tan (x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Paso 5.2

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$\cos (x) \sec (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.1.1

Reordena $\cos (x)$ y $\sec (x)$ .

$\sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Paso 5.4.1.2

Reescribe $\cos (x) \sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Paso 5.4.1.3

Cancela los factores comunes.

$1 + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Paso 5.4.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$1 + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Paso 5.4.3

Combina $\frac{1}{\cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + \cos (x)$

Paso 5.4.4

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Paso 5.4.5

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Paso 5.4.5.1

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Paso 5.4.5.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Paso 5.4.5.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Paso 5.4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Paso 5.4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Paso 5.4.5.6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Paso 5.4.5.7

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x)$

Paso 5.4.5.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x)$

Paso 5.4.5.9

Suma $1$ y $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Paso 5.5

Convierte de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ a $\tan^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 5.6

Reorganiza los términos.

$\tan^{2} (x) + 1 + \cos (x)$

Paso 5.7

Aplica la identidad pitagórica.

$\sec^{2} (x) + \cos (x)$