Cálculo Ejemplos

$(x^{2} - 8 x + 8) e^{\frac{9 x}{8}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 8 x + 8$ y $g (x) = e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{d}{d x} [e^{\frac{9 x}{8}}] + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{9 x}{8}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{9 x}{8}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{8}]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{8}]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{9 x}{8}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) (e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{8}]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $\frac{9}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{9 x}{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) e^{\frac{9 x}{8}} (\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Paso 3.2

Combina $\frac{9}{8}$ y $e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} \cdot 1 + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Paso 3.4

Multiplica $x^{2} - 8 x + 8$ por $1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.7

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.9

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.10

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 + 0)$

Paso 3.11

Suma $2 x - 8$ y $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 8 x \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 8 x \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 8 x \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.2

Combina $- 8$ y $\frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x \frac{- 8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.3

Multiplica $9$ por $- 8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x \frac{- 72 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.4

Combina $x$ y $\frac{- 72 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{x (- 72 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $- 72$ y $8$ .

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Paso 4.3.5.1

Factoriza $8$ de $x (- 72 e^{\frac{9 x}{8}})$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{8 (x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}))}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.5.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{8 (x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}))}{8 (1)} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{8 (x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}))}{8 \cdot 1} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}})}{1} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.5.2.4

Divide $x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}})$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.6

Combina $8$ y $\frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.7

Multiplica $9$ por $8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{72 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.8

Cancela el factor común de $72$ y $8$ .

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Paso 4.3.8.1

Factoriza $8$ de $72 e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.8.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8 (1)} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8 \cdot 1} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{1} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.8.2.4

Divide $9 e^{\frac{9 x}{8}}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + 9 e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Paso 4.3.9

Mueve $- 8$ a la izquierda de $e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + 9 e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) - 8 \cdot e^{\frac{9 x}{8}}$

Paso 4.3.10

Mueve $e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 9 \cdot x e^{\frac{9 x}{8}} + 2 x e^{\frac{9 x}{8}} + 9 e^{\frac{9 x}{8}} - 8 e^{\frac{9 x}{8}}$

Paso 4.3.11

Suma $- 9 x e^{\frac{9 x}{8}}$ y $2 x e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 x e^{\frac{9 x}{8}} + 9 e^{\frac{9 x}{8}} - 8 e^{\frac{9 x}{8}}$

Paso 4.3.12

Resta $8 e^{\frac{9 x}{8}}$ de $9 e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 x e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

Paso 4.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Reescribe.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

Paso 4.5.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{x^{2} \cdot 9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

Paso 4.5.2

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

Paso 4.6

Reordena los factores en $\frac{9 x^{2} e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{9 x^{2} e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 x e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}}$