Cálculo Ejemplos

$s (t) = 41 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1

Como $41$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $41 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5}}$ con respecto a $t$ es $41 \frac{d}{d t} [{(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5}}]$ .

$41 \frac{d}{d t} [{(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{6}{5}}$ y $g (t) = 8 t^{3} - 9$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 t^{3} - 9$ .

$41 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{6}{5}}] \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{6}{5}$ .

$41 (\frac{6}{5} u^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 t^{3} - 9$ .

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6 - 5}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Paso 6.2

Resta $5$ de $6$ .

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Combina $\frac{6}{5}$ y ${(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}$ .

$41 (\frac{6 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Paso 7.2

Combina $\frac{6 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5}$ y $41$ .

$\frac{6 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}} \cdot 41}{5} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9]$

Paso 7.3

Multiplica $41$ por $6$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $8 t^{3} - 9$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (\frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Paso 9

Como $8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $8 t^{3}$ con respecto a $t$ es $8 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (8 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (8 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 9])$

Paso 11

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (24 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 9])$

Paso 12

Como $- 9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (24 t^{2} + 0)$

Paso 13

Combina fracciones.

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Paso 13.1

Suma $24 t^{2}$ y $0$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (24 t^{2})$

Paso 13.2

Combina $24$ y $\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{24 (246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}})}{5} t^{2}$

Paso 13.3

Multiplica $246$ por $24$ .

$\frac{5904 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} t^{2}$

Paso 13.4

Combina $\frac{5904 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5}$ y $t^{2}$ .

$\frac{5904 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}} t^{2}}{5}$

Paso 13.5

Reordena los factores en $5904 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}} t^{2}$ .

$\frac{5904 t^{2} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5}$