Cálculo Ejemplos

$s (t) = \frac{90 t^{2}}{t^{2} + 150}$

Paso 1

Como $90$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{90 t^{2}}{t^{2} + 150}$ con respecto a $t$ es $90 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{2} + 150}]$ .

$90 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{2} + 150}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = t^{2} + 150$ .

$90 \frac{(t^{2} + 150) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$90 \frac{(t^{2} + 150) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t^{2} + 150$ .

$90 \frac{2 \cdot (t^{2} + 150) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 150$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [150]$ .

$90 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [150])}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$90 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [150])}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 3.5

Como $150$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $150$ con respecto a $t$ es $0$ .

$90 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $2 t$ y $0$ .

$90 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$90 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 4

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$90 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$90 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 6

Suma $1$ y $2$ .

$90 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 7

Combina $90$ y $\frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$ .

$\frac{90 (2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{90 ((2 t^{2} + 2 \cdot 150) t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{90 (2 t^{2} t + 2 \cdot 150 t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{90 (2 t^{2} t) + 90 (2 \cdot 150 t) + 90 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.1.1

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.1.1.1

Mueve $t$ .

$\frac{90 (2 (t \cdot t^{2})) + 90 (2 \cdot 150 t) + 90 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 8.4.1.1.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 8.4.1.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{90 (2 (t^{1} t^{2})) + 90 (2 \cdot 150 t) + 90 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 8.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{90 (2 t^{1 + 2}) + 90 (2 \cdot 150 t) + 90 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 8.4.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{90 (2 t^{3}) + 90 (2 \cdot 150 t) + 90 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 8.4.1.2

Multiplica $2$ por $90$ .

$\frac{180 t^{3} + 90 (2 \cdot 150 t) + 90 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 8.4.1.3

Multiplica $2$ por $150$ .

$\frac{180 t^{3} + 90 (300 t) + 90 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 8.4.1.4

Multiplica $300$ por $90$ .

$\frac{180 t^{3} + 27000 t + 90 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 8.4.1.5

Multiplica $- 2$ por $90$ .

$\frac{180 t^{3} + 27000 t - 180 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 8.4.2

Combina los términos opuestos en $180 t^{3} + 27000 t - 180 t^{3}$ .

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Paso 8.4.2.1

Resta $180 t^{3}$ de $180 t^{3}$ .

$\frac{27000 t + 0}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Paso 8.4.2.2

Suma $27000 t$ y $0$ .

$\frac{27000 t}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$