Cálculo Ejemplos

$\ln (\sin (t^{2}))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = \sin (t^{2})$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (t^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (t^{2})$ .

$\frac{1}{\sin (t^{2})} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Paso 2

Convierte de $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ a $\csc (t^{2})$ .

$\csc (t^{2}) \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = t^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t^{2}$ .

$\csc (t^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$\csc (t^{2}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t^{2}$ .

$\csc (t^{2}) (\cos (t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores de $\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$ .

$2 t \cos (t^{2}) \csc (t^{2})$

Paso 5.2

Reescribe $\csc (t^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$

Paso 5.3

Multiplica $2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$ .

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Paso 5.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ .

$t \cos (t^{2}) \frac{2}{\sin (t^{2})}$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{2}{\sin (t^{2})}$ y $t$ .

$\frac{2 t}{\sin (t^{2})} \cos (t^{2})$

Paso 5.3.3

Combina $\frac{2 t}{\sin (t^{2})}$ y $\cos (t^{2})$ .

$\frac{2 t \cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

Paso 5.4

Separa las fracciones.

$\frac{2 t}{1} \cdot \frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

Paso 5.5

Convierte de $\frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$ a $\cot (t^{2})$ .

$\frac{2 t}{1} \cot (t^{2})$

Paso 5.6

Divide $2 t$ por $1$ .

$2 t \cot (t^{2})$