Cálculo Ejemplos

$y (t) = \sin (4 π t + \frac{π}{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = 4 π t + \frac{π}{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 π t + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [4 π t + \frac{π}{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d t} [4 π t + \frac{π}{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 π t + \frac{π}{2}$ .

$\cos (4 π t + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} [4 π t + \frac{π}{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 π t + \frac{π}{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [4 π t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]$ .

$\cos (4 π t + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d t} [4 π t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}])$

Paso 2.2

Como $4 π$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 π t$ con respecto a $t$ es $4 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (4 π t + \frac{π}{2}) (4 π \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (4 π t + \frac{π}{2}) (4 π \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}])$

Paso 2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\cos (4 π t + \frac{π}{2}) (4 π + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}])$

Paso 2.5

Como $\frac{π}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{π}{2}$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\cos (4 π t + \frac{π}{2}) (4 π + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $4 π$ y $0$ .

$\cos (4 π t + \frac{π}{2}) (4 π)$

Paso 2.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\cos (4 π t + \frac{π}{2})$ .

$4 \cdot \cos (4 π t + \frac{π}{2}) π$

Paso 2.6.3

Reordena los factores de $4 \cos (4 π t + \frac{π}{2}) π$ .

$4 π \cos (4 π t + \frac{π}{2})$