Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 12 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $6 x - 12$ y $0$ .

$f' (x) = 6 x - 12$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 x - 12 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Paso 2.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 12$

Paso 2.3

Divide cada término en $6 x = 12$ por $6$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $6 x = 12$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $12$ por $6$ .

$x = 2$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $2$ .

$2$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 6 x - 12$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 6 (1) - 12$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$f' (1) = 6 - 12$

Paso 5.2.2

Resta $12$ de $6$ .

$f' (1) = - 6$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 5.3

En $x = 1$ la derivada es $- 6$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 2)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 6 (3) - 12$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$f' (3) = 18 - 12$

Paso 6.2.2

Resta $12$ de $18$ .

$f' (3) = 6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 6.3

En $x = 3$ la derivada es $6$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(2, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 2)$

Paso 8