Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 8}$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 8$ .

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x - 8) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 8$ .

$\frac{2 \cdot (x - 8) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2 (x - 8) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 8) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x - 8) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x - 8) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 8) x - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 8) x - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 8 x - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 8 x - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 8 x - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 16 x - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 16 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Factoriza $x$ de $x^{2} - 16 x$ .

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Paso 1.3.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 16 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.4.2

Factoriza $x$ de $- 16 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 16}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.4.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 16$ .

$\frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}}$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece el numerador igual a cero.

$x (x - 16) = 0$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 16 = 0$

Paso 2.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.2.3

Establece $x - 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Establece $x - 16$ igual a $0$ .

$x - 16 = 0$

Paso 2.2.3.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 16$

Paso 2.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 16) = 0$ verdadera.

$x = 0, 16$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 8}$ en $x = 0$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 8}$

Paso 3.2.2

Resta $8$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 8}$

Paso 3.2.3

Divide $0$ por $- 8$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 8}$ en $x = 16$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $16$ en la expresión.

$f (16) = \frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$f (16) = \frac{256}{16 - 8}$

Paso 4.2.2

Resta $8$ de $16$ .

$f (16) = \frac{256}{8}$

Paso 4.2.3

Divide $256$ por $8$ .

$f (16) = 32$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $32$ .

$32$

Paso 5

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 8}$ son $y = 0, y = 32$ .

$y = 0, y = 32$

Paso 6