Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{6} \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}$

Paso 1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{1}{6} \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = 1 + \cos^{2} (7 t)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 + \cos^{2} (7 t)$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + \cos^{2} (7 t)$ .

$\frac{1}{6} (3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $3$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} ({(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Combina ${(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ y $\frac{3}{6}$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \cdot 3}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Paso 3.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 3.2.3.1

Factoriza $3$ de $3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ .

$\frac{3 ({(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2})}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Paso 3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Paso 3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Paso 3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \cos^{2} (7 t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)])$

Paso 3.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)])$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \cos (7 t)$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (7 t)$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (7 t)$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (2 \cos (7 t) \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina $2$ y $\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2}$ .

$\frac{2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\cos (7 t) \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Paso 5.2

Combina $\cos (7 t)$ y $\frac{2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (7 t) (2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2})}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Paso 5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (7 t)$ .

$\frac{2 \cdot \cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Paso 5.4.2

Divide $\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ por $1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 7 t$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $7 t$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d t} [7 t])$

Paso 6.2

La derivada de $\cos (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $- \sin (u_{3})$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d t} [7 t])$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $7 t$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t])$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $7 t$ con respecto a $t$ es $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 7.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t) \cdot 1)$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t))$

Paso 7.4.2

Reordena los factores de $\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t))$ .

$- 7 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \cos (7 t) \sin (7 t)$