Cálculo Ejemplos

$y (t) = \frac{c}{b - a} \cdot (e^{- a t} - e^{- b t})$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Como $\frac{c}{b - a}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} - e^{- b t})$ con respecto a $t$ es $\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{- a t} - e^{- b t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - a t$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $- a$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- a t$ con respecto a $t$ es $- a \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- e^{- b t}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - \frac{d}{d t} [e^{- b t}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - b t$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- b t]))$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{- b t} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $- b$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- b t$ con respecto a $t$ es $- b \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - e^{- b t} (- b \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 5.2

Multiplica.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + 1 e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 5.2.2

Multiplica $e^{- b t}$ por $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \cdot 1))$

Paso 5.4

Multiplica $b$ por $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reordena los factores de $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$ .

$(e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Paso 6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Paso 6.3

Multiplica $- e^{- a t} a + e^{- b t} b$ por $\frac{c}{b - a}$ .

$\frac{(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Paso 6.4

Factoriza $- 1$ de $- e^{- a t} a$ .

$\frac{(- (e^{- a t} a) + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Paso 6.5

Factoriza $- 1$ de $e^{- b t} b$ .

$\frac{(- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)) c}{b - a}$

Paso 6.6

Factoriza $- 1$ de $- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)$ .

$\frac{- (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Paso 6.7

Reescribe $- (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ como $- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ .

$\frac{- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Paso 6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Paso 6.9

Reordena los factores en $- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$ .

$- \frac{c (a e^{- a t} - b e^{- b t})}{b - a}$