Cálculo Ejemplos

$y (t) = (\frac{9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}}{3 t^{3}})$

Paso 1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}}{3 t^{3}}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}}{t^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}}{t^{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = 9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}$ y $g (t) = t^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}] - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{{(t^{3})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${(t^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}] - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{3 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}] - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [9 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (\frac{d}{d t} [9 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Paso 3.3

Como $9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $9 t^{5}$ con respecto a $t$ es $9 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (9 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (9 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Paso 3.5

Multiplica $5$ por $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Paso 3.6

Como $- 3.9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3.9 t^{4}$ con respecto a $t$ es $- 3.9 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 3.9 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 3.9 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Paso 3.8

Multiplica $4$ por $- 3.9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Paso 3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t^{3}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - \frac{d}{d t} [t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - (3 t^{2})) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Paso 3.11

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Paso 3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) (3 t^{2})}{t^{6}}$

Paso 3.13

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.13.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) t^{2}}{t^{6}}$

Paso 3.13.2

Factoriza $t^{2}$ de $t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) t^{2}$ .

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Paso 3.13.2.1

Factoriza $t^{2}$ de $t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2})) - 3 (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) t^{2}}{t^{6}}$

Paso 3.13.2.2

Factoriza $t^{2}$ de $- 3 (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) t^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2})) + t^{2} (- 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})}{t^{6}}$

Paso 3.13.2.3

Factoriza $t^{2}$ de $t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2})) + t^{2} (- 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})}{t^{6}}$

Paso 4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1

Factoriza $t^{2}$ de $t^{6}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})}{t^{2} t^{4}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})}{t^{2} t^{4}}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2}}{t^{4}}$

Paso 5

Factoriza $t$ de $t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2}$ .

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Paso 5.1

Factoriza $t$ de $- 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) + t (- 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})}{t^{4}}$

Paso 5.2

Factoriza $t$ de $t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) + t (- 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})}{t^{4}}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $t$ de $t^{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})}{t \cdot t^{3}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})}{t \cdot t^{3}}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2}}{t^{3}}$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2}}{t^{3}}$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2}}{3 t^{3}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} + (- 3 (9 t^{2}) - 3 (- 3.9 t) - 3 \cdot - 1) t^{2}}{3 t^{3}}$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2}) t^{2} - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Multiplica $t^{2}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.1.1.1

Mueve $t^{2}$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 (t^{2} t^{2})) - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2 + 2}) - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Paso 8.3.1.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{4}) - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Paso 8.3.1.2

Multiplica $9$ por $- 3$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Paso 8.3.1.3

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.1.3.1

Mueve $t^{2}$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 (t^{2} t)) - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Paso 8.3.1.3.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 8.3.1.3.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 (t^{2} t^{1})) - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Paso 8.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 t^{2 + 1}) - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Paso 8.3.1.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 t^{3}) - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Paso 8.3.1.4

Multiplica $- 3.9$ por $- 3$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Paso 8.3.1.5

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3} + 3 t^{2}}{3 t^{3}}$

Paso 8.3.2

Combina los términos opuestos en $45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3} + 3 t^{2}$ .

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Paso 8.3.2.1

Suma $- 3 t^{2}$ y $3 t^{2}$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3} + 0}{3 t^{3}}$

Paso 8.3.2.2

Suma $45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3}$ y $0$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3}}{3 t^{3}}$

Paso 8.3.3

Resta $27 t^{4}$ de $45 t^{4}$ .

$\frac{18 t^{4} - 15.6 t^{3} + 11.7 t^{3}}{3 t^{3}}$

Paso 8.3.4

Suma $- 15.6 t^{3}$ y $11.7 t^{3}$ .

$\frac{18 t^{4} - 3.9 t^{3}}{3 t^{3}}$

Paso 8.4

Factoriza $0.3 t^{3}$ de $18 t^{4} - 3.9 t^{3}$ .

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Paso 8.4.1

Factoriza $0.3 t^{3}$ de $18 t^{4}$ .

$\frac{0.3 t^{3} (60 t) - 3.9 t^{3}}{3 t^{3}}$

Paso 8.4.2

Factoriza $0.3 t^{3}$ de $- 3.9 t^{3}$ .

$\frac{0.3 t^{3} (60 t) + 0.3 t^{3} (- 13)}{3 t^{3}}$

Paso 8.4.3

Factoriza $0.3 t^{3}$ de $0.3 t^{3} (60 t) + 0.3 t^{3} (- 13)$ .

$\frac{0.3 t^{3} (60 t - 13)}{3 t^{3}}$

Paso 8.5

Cancela el factor común de $t^{3}$ .

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Paso 8.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.3 t^{3} (60 t - 13)}{3 t^{3}}$

Paso 8.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{0.3 (60 t - 13)}{3}$

Paso 8.6

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{0.3 (60 t - 13)}{3 (1)}$

Paso 8.7

Separa las fracciones.

$\frac{0.3}{3} \cdot \frac{60 t - 13}{1}$

Paso 8.8

Divide $0.3$ por $3$ .

$0.1 \frac{60 t - 13}{1}$

Paso 8.9

Cancela el factor común de $0.1$ .

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Paso 8.9.1

Factoriza $0.1$ de $1$ .

$0.1 \frac{60 t - 13}{0.1 \cdot 10}$

Paso 8.9.2

Cancela el factor común.

$0.1 \frac{60 t - 13}{0.1 \cdot 10}$

Paso 8.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{60 t - 13}{10}$