Cálculo Ejemplos

$y = {(5 t^{2} - 4 t)}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = 5 t^{2} - 4 t$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 t^{2} - 4 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 t^{2} - 4 t$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 t^{2} - 4 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Paso 2.2

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 t^{2}$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Paso 2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 4 t$ con respecto a $t$ es $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \cdot 1)$

Paso 2.7

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$(10 t^{2} + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$ .

$(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$

Paso 3.4

Expande $(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 t (10 t^{2} - 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Paso 3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Paso 3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$10 \cdot 10 t \cdot t^{2} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.2.1

Mueve $t^{2}$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Paso 3.5.1.2.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 3.5.1.2.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t^{1}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Paso 3.5.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 \cdot 10 t^{2 + 1} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Paso 3.5.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$10 \cdot 10 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $10$ por $10$ .

$100 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Paso 3.5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t \cdot t - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Paso 3.5.1.5

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.5.1

Mueve $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 (t \cdot t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Paso 3.5.1.5.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Paso 3.5.1.6

Multiplica $10$ por $- 8$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Paso 3.5.1.7

Multiplica $10$ por $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} - 4 (- 8 t)$

Paso 3.5.1.8

Multiplica $- 8$ por $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} + 32 t$

Paso 3.5.2

Resta $40 t^{2}$ de $- 80 t^{2}$ .

$100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$