Cálculo Ejemplos

$y = \arcsin (\frac{3}{t^{2}})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \arcsin (t)$ y $g (t) = \frac{3}{t^{2}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{3}{t^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arcsin (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{3}{t^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{3}{t^{2}}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} (3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}])$

Paso 2.2

Combina fracciones.

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Paso 2.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Paso 2.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $\frac{1}{t^{2}}$ como ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [t^{- 2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} (- 2 t^{- 3})$

Paso 2.4

Combina fracciones.

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Paso 2.4.1

Combina $- 2$ y $\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} t^{- 3}$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} t^{- 3}$

Paso 2.4.3

Combina $\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$ y $t^{- 3}$ .

$\frac{- 6 t^{- 3}}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$

Paso 2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.4.1

Mueve $t^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}} t^{3}}$

Paso 2.4.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}} t^{3}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{t^{2}}$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{3^{2}}{{(t^{2})}^{2}}} t^{3}}$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{{(t^{2})}^{2}}} t^{3}}$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{t^{2 \cdot 2}}} t^{3}}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{t^{4}}} t^{3}}$