Cálculo Ejemplos

$y = arcsec (\frac{1}{t})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = arcsec (t)$ y $g (t) = \frac{1}{t}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Paso 1.2

La derivada de $arcsec (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{t} \sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Paso 2

Combina $\frac{1}{t}$ y $\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}}{t}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Paso 3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}}{t}$ .

$1 \frac{t}{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{t}{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}}$ por $1$ .

$\frac{t}{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1}{t}$ como $t^{- 1}$ .

$\frac{t}{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{t}{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}} (- t^{- 2})$

Paso 6

Combina $\frac{t}{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}}$ y $t^{- 2}$ .

$- \frac{t \cdot t^{- 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}}$

Paso 7

Multiplica $t$ por $t^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Multiplica $t$ por $t^{- 2}$ .

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Paso 7.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{t^{1} t^{- 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}}$

Paso 7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{t^{1 - 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}}$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{t^{- 1}}{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1}}$

Paso 8

Mueve $t^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^{2} - 1} t}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{t}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2}}{t^{2}} - 1} t}$

Paso 9.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{t^{2}} - 1} t}$