Cálculo Ejemplos

$y = \frac{100 t}{{(t + 20)}^{2}}$

Paso 1

Como $100$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{100 t}{{(t + 20)}^{2}}$ con respecto a $t$ es $100 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 20)}^{2}}]$ .

$100 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 20)}^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = {(t + 20)}^{2}$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 20)}^{2}]}{{({(t + 20)}^{2})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${({(t + 20)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 20)}^{2}]}{{(t + 20)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 20)}^{2}]}{{(t + 20)}^{4}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 20)}^{2}]}{{(t + 20)}^{4}}$

Paso 3.3

Multiplica ${(t + 20)}^{2}$ por $1$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t + 20)}^{2}]}{{(t + 20)}^{4}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = t + 20$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t + 20$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 20])}{{(t + 20)}^{4}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t + 20])}{{(t + 20)}^{4}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 20$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} - t (2 (t + 20) \frac{d}{d t} [t + 20])}{{(t + 20)}^{4}}$

Paso 5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$100 \frac{{(t + 20)}^{2} - 2 t ((t + 20) \frac{d}{d t} [t + 20])}{{(t + 20)}^{4}}$

Paso 5.2

Factoriza $t + 20$ de ${(t + 20)}^{2} - 2 t ((t + 20) \frac{d}{d t} [t + 20])$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $t + 20$ de ${(t + 20)}^{2}$ .

$100 \frac{(t + 20) (t + 20) - 2 t ((t + 20) \frac{d}{d t} [t + 20])}{{(t + 20)}^{4}}$

Paso 5.2.2

Factoriza $t + 20$ de $- 2 t ((t + 20) \frac{d}{d t} [t + 20])$ .

$100 \frac{(t + 20) (t + 20) + (t + 20) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t + 20]))}{{(t + 20)}^{4}}$

Paso 5.2.3

Factoriza $t + 20$ de $(t + 20) (t + 20) + (t + 20) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t + 20]))$ .

$100 \frac{(t + 20) (t + 20 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 20]))}{{(t + 20)}^{4}}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $t + 20$ de ${(t + 20)}^{4}$ .

$100 \frac{(t + 20) (t + 20 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 20]))}{(t + 20) {(t + 20)}^{3}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$100 \frac{(t + 20) (t + 20 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 20]))}{(t + 20) {(t + 20)}^{3}}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$100 \frac{t + 20 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 20])}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 20$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [20]$ .

$100 \frac{t + 20 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [20])}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$100 \frac{t + 20 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [20])}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 9

Como $20$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $20$ con respecto a $t$ es $0$ .

$100 \frac{t + 20 - 2 t (1 + 0)}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Suma $1$ y $0$ .

$100 \frac{t + 20 - 2 t \cdot 1}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 10.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$100 \frac{t + 20 - 2 t}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 10.3

Resta $2 t$ de $t$ .

$100 \frac{- t + 20}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 10.4

Combina $100$ y $\frac{- t + 20}{{(t + 20)}^{3}}$ .

$\frac{100 (- t + 20)}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{100 (- t) + 100 \cdot 20}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 11.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$\frac{- 100 t + 100 \cdot 20}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 11.2.2

Multiplica $100$ por $20$ .

$\frac{- 100 t + 2000}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 11.3

Factoriza $100$ de $- 100 t + 2000$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $100$ de $- 100 t$ .

$\frac{100 (- t) + 2000}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 11.3.2

Factoriza $100$ de $2000$ .

$\frac{100 (- t) + 100 (20)}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 11.3.3

Factoriza $100$ de $100 (- t) + 100 (20)$ .

$\frac{100 (- t + 20)}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 11.4

Factoriza $- 1$ de $- t$ .

$\frac{100 (- (t) + 20)}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 11.5

Reescribe $20$ como $- 1 (- 20)$ .

$\frac{100 (- (t) - 1 (- 20))}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 11.6

Factoriza $- 1$ de $- (t) - 1 (- 20)$ .

$\frac{100 (- (t - 20))}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 11.7

Reescribe $- (t - 20)$ como $- 1 (t - 20)$ .

$\frac{100 (- 1 (t - 20))}{{(t + 20)}^{3}}$

Paso 11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{100 (t - 20)}{{(t + 20)}^{3}}$