Cálculo Ejemplos

$y = \frac{t^{2} + 2}{{(2 t - 5)}^{9}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2} + 2$ y $g (t) = {(2 t - 5)}^{9}$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{({(2 t - 5)}^{9})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 t - 5)}^{9})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{9 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Paso 2.4

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t + 0) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.1

Suma $2 t$ y $0$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Paso 2.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 t - 5)}^{9}$ .

$\frac{2 \cdot {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{9}$ y $g (t) = 2 t - 5$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 t - 5$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (9 u^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t - 5$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (9 {(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Paso 4.2

Factoriza ${(2 t - 5)}^{8}$ de $2 {(2 t - 5)}^{9} t - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza ${(2 t - 5)}^{8}$ de $2 {(2 t - 5)}^{9} t$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Paso 4.2.2

Factoriza ${(2 t - 5)}^{8}$ de $- 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) + {(2 t - 5)}^{8} (- 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Paso 4.2.3

Factoriza ${(2 t - 5)}^{8}$ de ${(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) + {(2 t - 5)}^{8} (- 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza ${(2 t - 5)}^{8}$ de ${(2 t - 5)}^{18}$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{8} {(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{8} {(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t - 5$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 7

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 9

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 10

Como $- 5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (2 t) + 2 \cdot - 5) t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 5 t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.4

Simplifica el numerador.

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Paso 12.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.4.1.1

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 12.4.1.1.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 (2 (t \cdot t)) + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.4.1.1.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{2 (2 t^{2}) + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.4.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 t^{2} + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{4 t^{2} - 10 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.4.1.4

Multiplica $- 18$ por $2$ .

$\frac{4 t^{2} - 10 t - 18 t^{2} - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.4.2

Resta $18 t^{2}$ de $4 t^{2}$ .

$\frac{- 14 t^{2} - 10 t - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.5

Factoriza $2$ de $- 14 t^{2} - 10 t - 36$ .

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Paso 12.5.1

Factoriza $2$ de $- 14 t^{2}$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2}) - 10 t - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.5.2

Factoriza $2$ de $- 10 t$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t) - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.5.3

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t) + 2 (- 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.5.4

Factoriza $2$ de $2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t)$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2} - 5 t) + 2 (- 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.5.5

Factoriza $2$ de $2 (- 7 t^{2} - 5 t) + 2 (- 18)$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2} - 5 t - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.6

Factoriza $- 1$ de $- 7 t^{2}$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2}) - 5 t - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.7

Factoriza $- 1$ de $- 5 t$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2}) - (5 t) - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.8

Factoriza $- 1$ de $- (7 t^{2}) - (5 t)$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t) - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.9

Reescribe $- 18$ como $- 1 (18)$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t) - 1 (18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.10

Factoriza $- 1$ de $- (7 t^{2} + 5 t) - 1 (18)$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t + 18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.11

Reescribe $- (7 t^{2} + 5 t + 18)$ como $- 1 (7 t^{2} + 5 t + 18)$ .

$\frac{2 (- 1 (7 t^{2} + 5 t + 18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Paso 12.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (7 t^{2} + 5 t + 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$