Cálculo Ejemplos

$e^{4 x} + e^{- x}$

Paso 1

Escribe $e^{4 x} + e^{- x}$ como una función.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{4 x} + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.1.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.1.2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.1.2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.1.2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.1.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.1.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Paso 2.1.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Paso 2.1.1.3.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Paso 2.1.1.3.6

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 e^{4 x} - e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 e^{4 x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.1.2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Paso 2.1.2.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Paso 2.1.2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Paso 2.1.2.2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Paso 2.1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Paso 2.1.2.2.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Paso 2.1.2.2.6

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Paso 2.1.2.2.7

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Paso 2.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.1.2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.1.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.1.2.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 2.1.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 2.1.2.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 2.1.2.3.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - - e^{- x}$

Paso 2.1.2.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

Paso 2.1.2.3.9

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $16 e^{4 x} + e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$

Paso 2.2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

No hay solución

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

La gráfica es convexa porque la segunda derivada es positiva.

La gráfica es convexa.

Paso 5