Cálculo Ejemplos

$y = \ln (3 t e^{- t})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = 3 t e^{- t}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 t e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 t e^{- t}$ .

$\frac{1}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t e^{- t}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ .

$\frac{1}{3 t e^{- t}} (3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}])$

Paso 2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3 t e^{- t}}$ .

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - t$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- t$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- t$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5.3.3

Reescribe $- 1 e^{- t}$ como $- e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1)$

Paso 5.5

Multiplica $e^{- t}$ por $1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t})) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Combina $t$ y $\frac{1}{t e^{- t}}$ .

$\frac{t}{t e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{t}{t e^{- t}}$ y $e^{- t}$ .

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Paso 6.2.4

Cancela el factor común de $e^{- t}$ .

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Paso 6.2.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Paso 6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Paso 6.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Paso 6.2.6

Combina $\frac{1}{t e^{- t}}$ y $e^{- t}$ .

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

Paso 6.2.7

Cancela el factor común de $e^{- t}$ .

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Paso 6.2.7.1

Cancela el factor común.

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

Paso 6.2.7.2

Reescribe la expresión.

$- 1 + \frac{1}{t}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{t} - 1$