Cálculo Ejemplos

$y = \ln (t^{\frac{3}{2}})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = t^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

Paso 7

Combina $\frac{3}{2}$ y $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 8

Multiplica $\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Mueve $2$ a la izquierda de $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot t^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{3}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 10

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Multiplica $t^{\frac{3}{2}}$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1.1

Mueve $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 (t^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}})}$

Paso 10.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3}{2 t^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2 t^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Paso 10.1.4

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{3}{2 t^{1}}$

Paso 10.2

Simplifica $2 t^{1}$ .

$\frac{3}{2 t}$