Cálculo Ejemplos

$y = \ln (| 2 + t - t^{3} |)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = | 2 + t - t^{3} |$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $| 2 + t - t^{3} |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $| 2 + t - t^{3} |$ .

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = | t |$ y $g (t) = 2 + t - t^{3}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 + t - t^{3}$ .

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

Paso 2.2

La derivada de $| u_{2} |$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 + t - t^{3}$ .

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

Paso 3

Multiplica $\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} |}$ por $\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |}$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} | | 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

Paso 4

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| (2 + t - t^{3}) (2 + t - t^{3}) |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

Paso 5

Eleva $2 + t - t^{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1} (2 + t - t^{3}) |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

Paso 6

Eleva $2 + t - t^{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1} {(2 + t - t^{3})}^{1} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1 + 1} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + t - t^{3}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

Paso 10

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

Paso 11

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

Paso 13

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t^{3}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - \frac{d}{d t} [t^{3}])$

Paso 14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - (3 t^{2}))$

Paso 15

Simplifica la expresión.

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Paso 15.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$

Paso 15.2

Reordena los factores de $\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$ .

$(1 - 3 t^{2}) \frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |}$