Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{3} - 9 x$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} - 9 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 x^{2} - 9 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 9$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$18 x + 0$

Paso 1.2.3.2

Suma $18 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 18 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $18 x$ .

$18 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $18 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$18 x = 0$

Paso 2.2

Divide cada término en $18 x = 0$ por $18$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $18 x = 0$ por $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{0}{18}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $18$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{18 x}{18} = \frac{0}{18}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{18}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $0$ por $18$ .

$x = 0$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = 3 x^{3} - 9 x$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 3 {(0)}^{3} - 9 \cdot 0$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 9 \cdot 0$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = 3 x^{3} - 9 x$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 18 (- 0.1)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $18$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.8$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $- 1.8$ .

$- 1.8$

Paso 5.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $- 1.8$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 18 (0.1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $18$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 1.8$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $1.8$ .

$1.8$

Paso 6.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $1.8$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Paso 8