Cálculo Ejemplos

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ es $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ donde $f (w) = 17 w^{2} + 11$ y $g (w) = e^{w^{2}}$ .

$(17 w^{2} + 11) \frac{d}{d w} [e^{w^{2}}] + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ es $f' (g (w)) g' (w)$ donde $f (w) = e^{w}$ y $g (w) = w^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $w^{2}$ .

$(17 w^{2} + 11) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(17 w^{2} + 11) (e^{u} \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $w^{2}$ .

$(17 w^{2} + 11) (e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $17 w^{2} + 11$ con respecto a $w$ es $\frac{d}{d w} [17 w^{2}] + \frac{d}{d w} [11]$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (\frac{d}{d w} [17 w^{2}] + \frac{d}{d w} [11])$

Paso 3.3

Como $17$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $17 w^{2}$ con respecto a $w$ es $17 \frac{d}{d w} [w^{2}]$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (17 \frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [11])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (17 (2 w) + \frac{d}{d w} [11])$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $17$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w + \frac{d}{d w} [11])$

Paso 3.6

Como $11$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $11$ con respecto a $w$ es $0$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w + 0)$

Paso 3.7

Suma $34 w$ y $0$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(17 w^{2} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}}) (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$17 w^{2} e^{w^{2}} (2 w) + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $17$ .

$34 w^{2} e^{w^{2}} w + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Paso 4.3.2

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$34 (w^{1} w^{2}) e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Paso 4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$34 w^{1 + 2} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Paso 4.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Paso 4.3.5

Multiplica $2$ por $11$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 22 e^{w^{2}} w + e^{w^{2}} (34 w)$

Paso 4.3.6

Mueve $e^{w^{2}}$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 22 w e^{w^{2}} + 34 w e^{w^{2}}$

Paso 4.3.7

Suma $22 w e^{w^{2}}$ y $34 w e^{w^{2}}$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 56 w e^{w^{2}}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$34 e^{w^{2}} w^{3} + 56 e^{w^{2}} w$

Paso 4.5

Reordena los factores en $34 e^{w^{2}} w^{3} + 56 e^{w^{2}} w$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 56 w e^{w^{2}}$