Cálculo Ejemplos

$f (v) = 9 \sqrt{v (1 - e^{v})}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{v (1 - e^{v})}$ como ${v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [9 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $9$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $9 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $v$ es $9 \frac{d}{d v} [{v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d v} [{v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ es $f' (g (v)) g' (v)$ donde $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ y $g (v) = v (1 - e^{v})$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v (1 - e^{v})$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v (1 - e^{v})$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y ${v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{{v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Paso 9

Mueve ${v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (\frac{1}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$ y $9$ .

$\frac{9}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]$

Paso 11

Combina $\frac{9}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$ y $\frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]$ .

$\frac{9 \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$