Cálculo Ejemplos

$g (t) = t^{2} - \frac{1}{t^{3}}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} - \frac{1}{t^{3}}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = - 1$ y $g (t) = \frac{1}{t^{3}}$ .

$2 t - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{t^{3}}$ como ${(t^{3})}^{- 1}$ .

$2 t - \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = t^{3}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{3}$ .

$2 t - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 t - (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{3}$ .

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Paso 2.6

Multiplica los exponentes en ${(t^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 t - (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Paso 2.6.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$2 t - (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 t - (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Paso 2.8

Multiplica $t^{- 6}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.1

Mueve $t^{2}$ .

$2 t - (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Paso 2.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 t - (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Paso 2.8.3

Resta $6$ de $2$ .

$2 t - (- 3 t^{- 4}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Paso 2.9

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$2 t + 3 t^{- 4} + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Paso 2.10

Multiplica $\frac{1}{t^{3}}$ por $0$ .

$2 t + 3 t^{- 4} + 0$

Paso 2.11

Suma $3 t^{- 4}$ y $0$ .

$2 t + 3 t^{- 4}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 t + 3 \frac{1}{t^{4}}$

Paso 3.2

Combina $3$ y $\frac{1}{t^{4}}$ .

$2 t + \frac{3}{t^{4}}$